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mba考研数学知识点(b站考研数学知识点串讲课)

考研复习中定理证明是一个考生总觉得没有把握的内容。边肖整理了容易证明题的知识点,让大家掌握证明题的知识。以下是边肖为大家整理的知识点,考研数学中容易证明的知识点。希望对你有用!

研究生数学中证明问题的知识点。

一、数列极限的证明

数列极限的证明是数字一和数字二的重点,尤其是数字二,这几年经常考,考了好几次。大题一般涉及数列极限的证明,使用的方法是单调有界判别法。

二、微分中值定理的相关证明

微分中值定理的证明一直是考研的重点和难点。它的考试特点是综合性强,知识面广。涉及平均值的方程主要有三类定理:

1.零点定理和介值定理;

2.微分中值定理;

包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理。泰勒定理用于处理高阶导数的相关问题和考察频率基,所以以前两个定理为主。

3.微分中值定理

积分中值定理的作用是去掉积分符号。

考试的时候,一般会两两组合的考三类定理,所以有必要总结一下目前所考的题。

第三,方程的根的问题

包括方程根的唯一性和方程根的个数的讨论。

四。不等式的证明

动词(verb的缩写)定积分等式和不等式的证明

涉及的主要方法有微分学:常数变易法;积分方法:换元法和分布积分法。

不及物动词积分与路径无关的五个等价条件

这部分是状元考试的重点,近几年都没有设计,要重点把握。

考研数学证明题的答题步骤

第一步:首先要记住基本的原理,包括条件和结论,比如零存在定理,介值定理,中值定理,极限存在的两个准则。中值定理最好记住它们的推动过程,有时借助几何意义。

因为知道基本原理是证明的基础,不同的知道程度(即对定理理解的深度)会导致不同的推理能力。比如2006年一道真题的第16题(1)是证明极限的存在性,求极限。只要证明极限的存在,评价就容易了,但如果第一步没有证明,即使得到极限值,也不能得分。

因为数学推理环环相扣,如果第一步没有定论,那么第二步就是空中楼阁。这个题目很简单,只用到了极限存在的两个判据之一:单调有界序列必有极限。只要知道了这个判据,问题就很容易解决了,因为对于这个问题中的序列,‘单调性’和‘有界性’都得到了很好的验证。比如2009年直接要求考生证明拉格朗日中值定理;但是像这样可以直接运用基本原理的证明题在考研真题中并不是很常见,第二步用的比较多。

第二步:可以尝试借助几何意义寻求证明思路,构造所需的辅助函数。

很多时候,一个证明题可以通过它的几何意义来正确解释。当然,最基本的还是要正确理解标题文字的意思。比如2007年数学第19题是一个关于中值定理的证明题。可以在直角坐标系中画出满足设定条件的函数草图,然后联系结论。可以发现两个函数之间除了两个端点之外还有一个函数值相等的点,即两个函数分别取得最大值的点之间的一个点(正确考查:两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)。很容易认为辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,应用罗尔中值可以得到证明结论

再比如2005年数学第18题(1),是关于零点存在定理的证明。只要把函数y=f(x)和y=1-x在[0,1]上的图形,结合给定的条件,做成直角坐标系,马上就可以看到两个函数图形的交集。这是证明的结论,写推理过程很重要。从图中还应该看到,两个函数在两个端点的大小关系正好相反,即两个端点的差函数值符号不同,零点存在定理保证区间内有零点,证明了想要的结果。如果第二步真的不能圆满解决问题,就转到第三步。

第三步:从要证明的结论出发,寻求我们需要构造的辅助函数,我们称之为‘倒推’。

比如2004年第15题是不等式证明题,可以应用不等式证明的一般步骤来解决:即由结论构造一个函数,利用函数的单调性来推导结论。

在判断函数的单调性时,我们需要依赖导数的符号与单调性之间的关系。正常情况下,我们可以只通过一阶导数的符号来判断一个函数的单调性,但是异常情况比较多(这里举的例子都是异常情况)。这时候就需要用二阶导数的符号来判断一阶导数的单调性,再用一阶导数的符号来判断原函数的单调性,从而得到要证明的结果。

考研证明题经典解题技巧

1.记住基本原理,包括条件和结论,比如零存在定理,中值定理,泰勒公式,极限存在的两个判据,结合几何意义。

对基本原理的了解是证明的基础,了解程度的不同(即对定理理解的深度)会导致推理能力的不同。比如2006年一道真题的第16题(1)是证明极限的存在性,求极限。只要证明极限的存在,评价就容易了,但如果第一步没有证明,即使得到极限值,也不能得分。因为数学推理环环相扣,如果第一步没有定论,那么第二步就是空中楼阁。这个题目很简单,只用到了极限存在的两个判据之一:单调有界序列必有极限。只要知道这个判据,问题就很容易解决,因为对于这个问题中的序列来说,“单调性”和“有界性”都得到了很好的验证。像这样能直接运用基本原理的证明题不多,更多的是运用第二步。

2.借助几何意义求证明思路。

很多时候,一个证明题可以通过它的几何意义来正确解释。当然,最基本的还是要正确理解标题文字的意思。比如2007年数学第19题是一个关于中值定理的证明题。可以在直角坐标系中画出满足设定条件的函数草图,然后联系结论。可以发现两个函数之间除了两个端点之外还有一个函数值相等的点,即两个函数分别取得最大值的点之间的一个点(正确考查:两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)。很容易认为辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点,应用罗尔中值定理两次即可得到证明结论。再比如2005年数学第18题(1),是关于零点存在定理的证明。只要把函数y=f(x)和y=1-x在[0,1]上的图形,结合给定的条件,做成直角坐标系,马上就可以看到两个函数图形的交集。这是证明的结论,写推理过程很重要。从图中还应该看到,两个函数在两个端点的大小关系正好相反,即两个端点的差函数值符号不同,零点存在定理保证区间内有零点,证明了想要的结果。如果第二步真的不能圆满解决问题,就转到第三步。

3.

从结论中寻求证明方法。比如2004年第15题是不等式证明题,可以应用不等式证明的一般步骤来解决:即由结论构造一个函数,利用函数的单调性来推导结论。在判断函数的单调性时,我们需要依赖导数的符号与单调性之间的关系。正常情况下,我们可以只通过一阶导数的符号来判断一个函数的单调性,但是异常情况比较多(这里举的例子都是异常情况)。这时候就需要用二阶导数的符号来判断一阶导数的单调性,再用一阶导数的符号来判断原函数的单调性,从而得到要证明的结果。F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*可以在这个问题中设定,其中eF(a)是要证明的不等式。

对于经常使用上述方法的考生来说,走三步就能轻松获得12分的数学证明,但对于心理上对解决证明问题不自信的考生来说,往往容易失分12分。后半部分学生要按“三步证明”建立自信心,防止考试成绩白白流失。

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